【題目】對于無窮數(shù)列,,若-…,則稱是的“收縮數(shù)列”.其中,,分別表示中的最大數(shù)和最小數(shù).已知為無窮數(shù)列,其前項和為,數(shù)列是的“收縮數(shù)列”.
(1)若,求的前項和;
(2)證明:的“收縮數(shù)列”仍是;
(3)若,求所有滿足該條件的.
【答案】(1)(2)證明見解析(3)所有滿足該條件的數(shù)列為
【解析】
(1)由可得為遞增數(shù)列,,,從而易得;
(2)利用,
,可證是不減數(shù)列(即),而,由此可得的“收縮數(shù)列”仍是.
(3)首先,由已知,當時,;當時,,;當時,(*),這里分析與的大小關系,,均出現(xiàn)矛盾,,結合(*)式可得,因此猜想(),用反證法證明此結論成立,證明時假設是首次不符合的項,則,這樣題設條件變?yōu)?/span>(*),仿照討論的情況討論,可證明.
解:(1)由可得為遞增數(shù)列,
所以,
故的前項和為.
(2)因為,
,
所以
所以.
又因為,所以,
所以的“收縮數(shù)列”仍是.
(3)由可得
當時,;
當時,,即,所以;
當時,,即(*),
若,則,所以由(*)可得,與矛盾;
若,則,所以由(*)可得,
所以與同號,這與矛盾;
若,則,由(*)可得.
猜想:滿足的數(shù)列是:
.
經(jīng)驗證,左式,
右式.
下面證明其它數(shù)列都不滿足(3)的題設條件.
法1:由上述時的情況可知,時,是成立的.
假設是首次不符合的項,則,
由題設條件可得(*),
若,則由(*)式化簡可得與矛盾;
若,則,所以由(*)可得
所以與同號,這與矛盾;
所以,則,所以由(*)化簡可得.
這與假設矛盾.
所以不存在數(shù)列不滿足的符合題設條件.
法2:當時,,
所以
即
由可得
又,所以可得,
所以,
即
所以等號成立的條件是
,
所以,所有滿足該條件的數(shù)列為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知球O是正三棱錐(底面為正三角形,頂點在底面的射影為底面中心)A-BCD的外接球,BC=3,,點E在線段BD上,且BD=3BE,過點E作圓O的截面,則所得截面圓面積的取值范圍是__.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱柱中,平面是線段上的動點,是線段上的中點.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若,且直線所成角的余弦值為,試指出點在線段上的位置,并求三棱錐的體積.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的方程,焦點為,已知點在上,且點到點的距離比它到軸的距離大1.
(1)試求出拋物線的方程;
(2)若拋物線上存在兩動點(在對稱軸兩側(cè)),滿足(為坐標原點),過點作直線交于兩點,若,線段上是否存在定點,使得恒成立?若存在,請求出的坐標,若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過拋物線外一點M作拋物線的兩條切線,兩切點的連線段稱為點M對應的切點弦已知拋物線為,點P,Q在直線l:上,過P,Q兩點對應的切點弦分別為AB,CD
當點P在l上移動時,直線AB是否經(jīng)過某一定點,若有,請求出該定點的坐標;如果沒有,請說明理由
當時,點P,Q在什么位置時,取得最小值?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設P為橢圓1(a>b>0)上任一點,F1、F2為橢圓的焦點,|PF1|+|PF2|=4,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線l:y=kx+m(≠0)與橢圓交于A、B兩點,若線段AB的中點C的直線yx上,O為坐標原點.求△OAB的面積S的最大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)在上有意義,實數(shù)和滿足,若在區(qū)間上不存在最小值,則稱在上具有性質(zhì).
(1)當,且在區(qū)間上具有性質(zhì)時,求常數(shù)的取值范圍;
(2)已知,且當,,判斷在區(qū)間上是否具有性質(zhì),請說明理由:
(3)若對于滿足的任意實數(shù)和,在上具有性質(zhì)時,且對任意,當時有:,證明:當時,.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足:(常數(shù)),.數(shù)列滿足:.
(1)求的值;
(2)求出數(shù)列的通項公式;
(3)問:數(shù)列的每一項能否均為整數(shù)?若能,求出k的所有可能值;若不能,請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】經(jīng)過多年的運作,“雙十一”搶購活動已經(jīng)演變成為整個電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴.為迎接2018年“雙十一”網(wǎng)購狂歡節(jié),某廠家擬投入適當?shù)膹V告費,對網(wǎng)上所售產(chǎn)品進行促銷.經(jīng)調(diào)查測算,該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費用x萬元滿足(其中,a為正常數(shù)).已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元(不含促銷費用),每一件產(chǎn)品的銷售價格定為元,假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場的銷售需求.
(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù);
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大?并求出最大利潤的值.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com