Question

4．古式樓閣中的橫梁多為木質長方體結構，當橫梁的長度一定時，其強度與寬成正比，與高的平方成正比．現(xiàn)將一圓柱形木頭鋸成一橫梁（長度不變），當高與寬的比值為$\sqrt{2}$時，橫梁的強度最大．

Answer 1

分析 據題意橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬x的積成正比（強度系數為k，k＞0）建立起強度函數，求出函數的定義域，再利用求導的方法求出函數取到最大值時的橫斷面的值，即可得出結論．

解答 解：設直徑為d，如圖所示，設矩形橫斷面的寬為x，高為y．由題意知，當xy²取最大值時，橫梁的強度最大．
∵y²=d²-x²，
∴xy²=x（d²-x²）（0＜x＜d）．
令f（x）=x（d²-x²）（0＜x＜d），
得f′（x）=d²-3x²，令f′（x）=0，
解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d或x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$d（舍去）．
當0＜x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$d，f′（x）＞0；當$\frac{\sqrt{3}}{3}$d＜x＜d時，f′（x）＜0，
因此，當x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$d時，f（x）取得極大值，也是最大值．
∴y=$\frac{\sqrt{6}}{3}$d，∴$\frac{y}{x}$=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 考查據實際意義建立相關的函數，再根據函數的特征選擇求導的方法來求最值．