Question

【題目】已知函數(shù)．

求的單調(diào)區(qū)間和極值；

當(dāng)時，證明：對任意的，函數(shù)有且只有一個零點．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)對a分類討論即可判斷單調(diào)區(qū)間和極值的情況。

（2）把a=1代入函數(shù)，去證明函數(shù)只有1個零點，轉(zhuǎn)化為證明方程只有1個正實數(shù)根。通過分離參數(shù)k，研究新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性討論在a的不同取值時的情況即可。

解：函數(shù)的定義域為，，

當(dāng)時，，在定義域上單調(diào)遞增，無極值；

當(dāng)時，由，得，

當(dāng)時，，得的單調(diào)遞增區(qū)間是；

當(dāng)時，，得的單調(diào)遞減區(qū)間是，

故的極大值為，無極小值．

證明：當(dāng)時，函數(shù)，

欲證對任意的，函數(shù)有且只有一個零點，

即證方程有且只有一個正實數(shù)根，

由，得，

令，則，

令，則，

由，得，

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，

所以，

于是，則在上單調(diào)遞減．

設(shè)，則，由，得，

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，

所以，即當(dāng)時，，

所以當(dāng)時，，

對任意的，有

當(dāng)時，，有；

當(dāng)時，有，

又在上單調(diào)遞減，所以存在唯一的，有；

當(dāng)時，，有，

當(dāng)時，有，

又在上單調(diào)遞減，所以存在唯一的，有，

綜上所述，對任意的，方程有且只有一個正實數(shù)根，

即函數(shù)有且只有一個零點．