Question

如圖，在幾何體中，，,，且，.

（I）求證:；

（II）求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查幾何體中的線線平行與垂直的判定、線面平行與垂直的判定，以及空間向量法求二面角等數(shù)學知識，考查空間想象能力和邏輯思維能力，考查基本計算能力.第一問，利用已知的邊長，得出與相似，從而得到與垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理得面，作出輔助線和及，通過條件可得，最后利用線面平行的判定證明平面；第二問，利用已知的垂直關(guān)系，建立如圖的空間直角坐標系，寫出各點的坐標，關(guān)鍵是求出平面和平面的法向量，利用夾角公式求出余弦值.

試題解析：（I）

又 ,

過點作，垂足為，則，且， 2分

過作，交于，過作交于，連結(jié)，

∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，

，

6分

（II）如圖建立空間直角坐標系，則

A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），

C（1，1，），=（0，﹣2，2），=（1，﹣1，）， 8分

設平面CDE的一個法向量為=（x，y，z），

則有，則﹣2y+2z=0，x﹣y+z=0，

取z=2，則y=2，x=0，所以=（0，2，2）， 10分

平面AEC的一個法向量為=（﹣2，2，0）， 11分

故cos＜，＞= 12分

考點：1.相似三角形；2.線面垂直的判定；3.線面平行的判定；4.空間向量法.