Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax³+4x-4（a∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線3x-y+2=0平行．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-m有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=1時的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值等于3求得a的值．
（Ⅱ）求出導(dǎo)函數(shù)，可知g（x）的單調(diào)性，求得g（x）的極值，由題意可得極值、端點處函數(shù)值的符號，解不等式即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+4x-4，∴f′（x）=3ax²+4，
故切線的斜率k=f′（1）=3a+4，
又切線與直線3x-y+2=0平行，
故切線的斜率k=3，即3a+4=3，∴a=-$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）g（x）=-$\frac{1}{3}$x³+4x-4-m，
∴g′（x）=-x²+4=-（x+2）（x-2），
∴當(dāng)函數(shù)g（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在（-2，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x）在x=2處取得極大值g（2）=$\frac{4}{3}$-m，在x=-2處取得極小值g（-2）=-$\frac{28}{3}$-m，
由函數(shù)g（x）=f（x）-m有三個零點，可得$\left\{\begin{array}{l}{-m-\frac{28}{3}＜0}\\{-m+\frac{4}{3}＞0}\end{array}\right.$，∴-$\frac{28}{3}$＜m＜$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、函數(shù)的零點，考查不等式的求解，屬于中檔題．