Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）若函數(shù)在上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最小值；

（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最小值為．（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意，確定函數(shù)定義域，然后求導(dǎo)，若函數(shù)在上為減函數(shù)，則在上恒成立，轉(zhuǎn)化不等式為，令，求解的最小值，則，即可求解參數(shù)最值.

（2）問題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，有，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出的具體范圍即可.

（1）由已知得的定義域，

∵在上為減函數(shù)，

∴在上恒成立，

，

令，故當(dāng)，即時(shí)，

的最小值為，∴，即∴的最小值為．

（2）命題“若存在，使成立”，

等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有”，

由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，

，

，

問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”，

①當(dāng)，即時(shí)，由（1），在上為減函數(shù)，

則．

②當(dāng)，即時(shí)，，

∵，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上為增函數(shù)，

∴存在唯，使且滿足：

，

要使，

與矛盾，∴不合題意．

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．