Question

13．已知函數(shù)$f（x）=a-\frac{1}{x}$是定義在（0，+∞）上的函數(shù)．
（1）求證：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[m，n]上的值域是[2m，2n]（m＜n），求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若不等式x²|f（x）|≤1對$x∈[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接用定義法證明；
（2）將題目條件轉(zhuǎn)化為2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不等的根，然后結(jié)合判別式求解；
（3）由x²|f（x）|≤1，令$\frac{1}{x}$=t，t∈[2，3]，用換元法化簡不等式．

解答 （1）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=（a-$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（a-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0．
∴函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）解：由（1）知y=f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=2m}\\{f（n）=2n}\end{array}\right.$，
∴m，n是f（x）=2x，即a-$\frac{1}{x}$=2x的兩個(gè)不等的正根，
∴2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不等的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-8＞0}\end{array}\right.$，解得a＞2$\sqrt{2}$；
（3）解：由x²|f（x）|≤1，得$\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}$≤a≤$\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，
令$\frac{1}{x}$=t，t∈[2，3]，
則t-t²≤a≤t+t²，
∴-2≤a≤6，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2，6]．

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題，考查了單調(diào)性證明的方法、單調(diào)性的應(yīng)用、換元法及等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，是中檔題．