Question

已知函數(shù)f（x）=

x-a

(x-1)2

（x∈（1，+∞））
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）通過討論a的范圍，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值．

解答： 解：（1）f′（x）=

(x-1)(-x+2a-1)

(x-1)4

，
當2a-1＞1，即a＞1時，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜2a-1，故f（x）在（1，2a-1）遞增，
當2a-1≤1，即a≤1時，令f′（x）＞0，不等式無解，故f（x）無單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）①當2a-1≥2時，即a≥

3

2

時，列表如下：

x	[2，2a-1）	（2a-1，+∞）
f′（x）	+	-
f（x）	遞增	遞減

∴f（x）_max=f（2a-1）=

1

4(a-1)

，
②當1＜2a-1＜2，即1＜a＜

3

2

時，在區(qū)間[2，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，
∴f（x）在[2，+∞）上遞減，∴f（x）在區(qū)間[2，+∞）的最大值為f（2）=2-a，
③當2a-1≤1，即a≤1時，在區(qū)間[2，+∞）上，f′（x）≤0恒成立，
∴f（x）在[2，+∞）遞減，∴f（x）在區(qū)間[2，+∞）的最大值為f（2）=2-a，
綜上：f（x）在區(qū)間[2，+∞）的最大值f（x）_max=

1 4(a-1) ，a≥ 3 2 2-a，a＜ 3 2

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查了導數(shù)的應(yīng)用，考查了分類討論思想，是一道中檔題．