Question

【題目】已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過曲線上一點(diǎn)（）作兩條直線，與曲線分別交于不同的兩點(diǎn)，，若直線，的斜率分別為，，且.證明：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）． （2）證明見詳解.

【解析】

（1）將描述的軌跡性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為拋物線的定義，據(jù)此寫出曲線方程；

（2）設(shè)出直線AB方程，利用，得到直線AB方程中系數(shù)之間的關(guān)系，從而證明直線恒過定點(diǎn).

（1）由題意可知，到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，

則：動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，

故：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

所以曲線的方程為．

（2）因為點(diǎn)M在拋物線上，故可知，

設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為：，

聯(lián)立，得，

所以，

所以；

因為，

即，

所以，

等價于，所以或

當(dāng)時，直線的方程：

直線過定點(diǎn)與重合，舍去；

當(dāng)時，直線的方程：

直線過定點(diǎn)，所以直線過定點(diǎn)．