13.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,上頂點為(0,1).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過原點O作兩條互相垂直的射線,與橢圓C交于A,B兩點,求證:點O到直線AB的距離為定值.

分析 (I)由已知可得$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,b=1,進而可得a2=3,可得橢圓C的方程;
(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線與橢圓的方程,結合韋達定理及點到直線公式,可證得結論.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)∵橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,上頂點為(0,1).
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,b=1,
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=$\frac{6}{9}$,
解得:a2=3,
故橢圓C的方程為:$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$.                                            …(4分)
證明:(Ⅱ)設A(x1,y1),B(x2,y2),
①若k存在,則設直線AB:y=kx+m.…(5分)
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1\end{array}\right.$,得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,
則x1+x2=-$\frac{6km}{1+3{k}^{2}}$,x1•x2=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$                                 …(6分)
由OA⊥OB可知x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)=0…(8分)
代入,得4m2=3k2+3
原點到直線AB的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.…(10分)
②當AB的斜率不存在時,|x1|=|y1|,可得|x1|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=d,依然成立. …(11分)
綜上,點O到直線AB的距離為定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$.                        …(12分)

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程,橢圓的性質,點到直線的距離,直線與橢圓的位置關系,屬于中檔題.

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