Question

（理） 空間三點(diǎn)A（0，1，0），B（2，2，0），C（-1，3，1），則（　�。�

• A．

  AB

  與

  AC

  是共線向量
• B．

  AB

  的單位向量是（1，1，0）
• C．

  AB

  與

  BC

  夾角的余弦值

  55

  11

• D．平面ABC的一個(gè)法向量是（1，-2，5）

Answer 1

分析：A：根據(jù)題意兩個(gè)向量的坐標(biāo)表示，可得

AB

分別寫出

AB

≠λ

AC

，所以

AB

與

AC

不共線．
B：結(jié)合題意可得：

AB

的單位向量為：(

2 5

5

，

5

5

，0)或(-

2 5

5

，-

5

5

，0)．
C：根據(jù)題意分別寫出兩個(gè)向量的坐標(biāo)表示，再結(jié)合向量的數(shù)量積公式求出兩個(gè)向量夾角的余弦值．
D：設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量是

n

=(x，y，z)，利用

AB • n =0 AC • n =0

，可得x：y：z=1：（-2）：5．

解答：解：A：

AB

=（2，1，0），

AC

=（-1，2，1），所以

AB

≠λ

AC

，所以

AB

與

AC

不共線，所以A錯(cuò)誤．
B：因?yàn)?span id="tqbgyss" class="MathJye">

AB

=（2，1，0），所以

AB

的單位向量為：(

2 5

5

，

5

5

，0)或(-

2 5

5

，-

5

5

，0)，所以B錯(cuò)誤．
C：

AB

=（2，1，0），

BC

=(-3，1，1)，所以cos＜

AB

，

BC

＞=

AB • BC

| AB |  | BC |

=-

55

11

，所以C錯(cuò)誤．
D：設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量是

n

=(x，y，z)，因?yàn)?span id="yrrjki4" class="MathJye">

AB

=（2，1，0），

AC

=（-1，2，1），所以

AB • n =0 AC • n =0

，即

2x+y=0 -x+2y+z=0

，所以x：y：z=1：（-2）：5，所以D正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量之間的運(yùn)算，即向量坐標(biāo)形式的數(shù)量積運(yùn)算、向量坐標(biāo)形式的共線與利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求平面的法向量．