Question

1．求下列函數(shù)的反函數(shù)，并指出該函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域：
（1）y=$\frac{x}{2x-1}$；
（2）y=$\sqrt{2x-3}$；
（3）y=e^x-1；
（4）y=2sinx+1．

Answer 1

分析 根據(jù)反函數(shù)的定義分別求出x，再將x，y互換得原函數(shù)的反函數(shù)，則原函數(shù)的值域為反函數(shù)的定義域．

解答 解：（1）由y=$\frac{x}{2x-1}$，即2xy-y=x，x（2y-1）=y，解得x=$\frac{y}{2y-1}$，x，y互換得y=$\frac{x}{2x-1}$，其定義域為{x|x≠$\frac{1}{2}$}，
（2）由（2）y=$\sqrt{2x-3}$可得y²=2x-3，即x=$\frac{1}{2}$（y²+3），x，y互換得y=$\frac{1}{2}$（x²+3），
因為原函數(shù)的值域為[0，+∞），則反函數(shù)的定義域為[0，+∞）
（3）由y=e^x-1則x-1=lny，即x=1+lny，x，y互換得y=1+lnx，則其定義域為（0，+∞）
（4）y=2sinx+1，其值域為[-1，3]
由y=2sinx+1得sinx=$\frac{y-1}{2}$
則x=sarcsin$\frac{y-1}{2}$，x，y互換得y=arcsin$\frac{x-1}{2}$，則其定義域為[-1，3]

點評 本題考查函數(shù)的反函數(shù)的求法，考查函數(shù)的定義域及其值域的求法，明確函數(shù)的反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域是關(guān)鍵，是中檔題．