Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).

(1)若，求證: ;

(2)若，異面直線與所成的角為30°，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2)

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，易知要證，先證平面；

（2）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量及直線的方向向量，即可得到結(jié)果.

(1)證明:取中點(diǎn)，連接，，有，因?yàn)?/span>，所以，又因?yàn)槿�棱�?/span>為直三棱柱，

所以平面平面，又因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以平面，又因?yàn)?/span>平面，

所以

又因?yàn)?/span>，，平面，平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以.

(2)設(shè)，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由 (1)可知，，所以，

故，，，，，

對(duì)平面，，，

所以其法向量為.

又，

所以直線與平面成角的正弦值.