Question

已知方向向量為

v

=（2，2

3

）的直線l過(guò)點(diǎn)（0，-2

3

）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上．
（1）寫(xiě)出直線l的方程      
（2）求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的方向向量，算l的斜率k=

3

，結(jié)合直線l過(guò)點(diǎn)（0，-2

3

），利用直線方程的斜截式列式，可得直線l的方程；
（2）利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，列式算出右準(zhǔn)線方程為x=3．根據(jù)直線l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)算出右焦點(diǎn)為（2，0），由此算出a、b之值，即可得到橢圓C的方程．

解答：解：（1）∵

v

=（2，2

3

）=2（1，

3

），∴l(xiāng)的斜率k=

3

…（2分）
∵直線l過(guò)點(diǎn)（0，-2

3

），
∴直線l的方程為：y=

3

x-2

3

，①…（4分）
（2）過(guò)原點(diǎn)垂直l的直線方程為y=-

3

3

x，②…（6分）
解①②得x=

3

2

，…．（7分）
∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)O'在橢圓C的右準(zhǔn)線上，
∴由OO'的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

3

2

，得

a2

c

=2×

3

2

=3，即右準(zhǔn)線方程為x=3．…..（8分）
∵直線l：y=

3

x-2

3

過(guò)橢圓焦點(diǎn)，
∴令y=0，得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）…．（9分）
∴c=2，代入準(zhǔn)線方程得a²=2×3=6，從而b²=

a2-c2

=2．
因此，所求橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．