【題目】已知函數(shù).

當(dāng)時(shí)

①求證:在區(qū)間上單調(diào)遞減;

②求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

對(duì)于任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】①證明見解析;②;.

【解析】

①先求導(dǎo)得,令,有,當(dāng)時(shí),,所以所以,進(jìn)而證出在區(qū)間上單調(diào)遞減;②由①知:函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,,,進(jìn)而得出結(jié)果;

先整理不等式得,轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù),再轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒非負(fù),分離變量得最小值,最后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性,得最值,得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

解:①當(dāng)時(shí),,

,有,

當(dāng)時(shí),,所以所以

故當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,

②由①知:函數(shù)單調(diào)遞減.

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,

故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?/span>.

,有

可化為,

整理為:,

即函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù),

,

,

故當(dāng)時(shí),,

,

①當(dāng)時(shí),;

②當(dāng)時(shí),整理為:,

,有

當(dāng),,,有

當(dāng)時(shí),由,有,可得,

由上知時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,

,故有:,可得.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)通過分析可以認(rèn)為學(xué)生初試成績(jī)服從正態(tài)分布,其中,試估計(jì)初試成績(jī)不低于90分的人數(shù);

(2)已知小強(qiáng)已通過初試,他在復(fù)試中單選題的正答率為,多選題的正答率為,且每道題回答正確與否互不影響.記小強(qiáng)復(fù)試成績(jī)?yōu)?/span>,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附:,.

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