Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_n+3=2+a_n，S₉₀=2670，則a₁+a₂+a₃=2．

Answer 1

分析 由a_n+3=2+a_n可得a_n+3-a_n=2，可得a_n+5-a_n+2=2、a_n+4-a_n+1=2，3個(gè)式子相加后由等差數(shù)列的定義，判斷出數(shù)列{a_3n-2+a_3n-1+a_3n}是等差數(shù)列，并求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)題意和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出方程，化簡(jiǎn)后即可求出答案．

解答 解：由a_n+3=2+a_n可得a_n+3-a_n=2，
則a_n+5-a_n+2=2，a_n+4-a_n+1=2，且a_n+3-a_n=2，
以上3個(gè)式子相加得，（a_n+5+a_n+4+a_n+3）-（a_n+2+a_n+1+a_n）=6，
所以數(shù)列{a_3n-2+a_3n-1+a_3n}是首項(xiàng)為a₁+a₂+a₃，公差為6的等差數(shù)列，
設(shè)a₁+a₂+a₃=x，又S₉₀=2670，
則$30x+\frac{30×29}{2}×6=2670$，解得x=2，
即a₁+a₂+a₃=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推公式的化簡(jiǎn)與變形，等差數(shù)列的定義、前n項(xiàng)和公式，以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查化簡(jiǎn)、變形能力．