【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,,E是PC的中點(diǎn),平面PAC⊥平面ABCD.
(1)證明:ED∥平面PAB;
(2)若,求二面角A﹣PC﹣D的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)取PB的中點(diǎn)F,連接AF,EF,通過證明四邊形ADEF是平行四邊形,得到DE∥AF,從而證出ED∥平面PAB;
(2)通過做輔助線找到二面角A﹣PC﹣D的平面角,求出其余弦值即可.
(1)證明:取PB的中點(diǎn)F,連接AF,EF.
∵EF是△PBC的中位線,∴EF∥BC,且EF.
又AD=BC,且ADBC,∴AD∥EF且AD=EF,
∴四邊形ADEF是平行四邊形.∴DE∥AF,
又DE面ABP,AF面ABP,
∴ED∥面PAB.
(2)解:取BC的中點(diǎn)M,連接AM,則AD∥MC且AD=MC,
∴四邊形ADCM是平行四邊形,
∴AM=MC=MB,則A在以BC為直徑的圓上.
∴AB⊥AC,可得AC.
過D作DG⊥AC于G,
∵平面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,
∴DG⊥平面PAC,則DG⊥PC.
過G作GH⊥PC于H,則PC⊥面GHD,連接DH,則PC⊥DH,
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角.
在△ADC中,GD,
連接AE, cos∠ACE,
AE,
∵點(diǎn)P到AC的距離d1,
∴點(diǎn)A到PC的距離.
GH.
在Rt△GDH中,HD,
∴cos∠GHD.
即二面角A﹣PC﹣D的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列滿足對(duì)任意的恒成立,為其前項(xiàng)的和,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng);
(2)數(shù)列滿足,其中.
①證明:數(shù)列為等比數(shù)列;
②求集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圓錐如圖①所示,圖②是它的正(主)視圖.已知圓的直徑為, 是圓周上異于的一點(diǎn), 為的中點(diǎn).
(I)求該圓錐的側(cè)面積S;
(II)求證:平面⊥平面;
(III)若∠CAB=60°,在三棱錐中,求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知變量、之間的線性回歸方程為,且變量、之間的一-組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示,則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.可以預(yù)測(cè),當(dāng)時(shí),B.
C.變量之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系D.該回歸直線必過點(diǎn)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)原點(diǎn)為,點(diǎn),、兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng),并且滿足,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)作曲線的任意一條切線(不含軸),直線與切線相交于點(diǎn),直線與切線、軸分別相交于點(diǎn)與點(diǎn),試探究的值是否為定值,若為定值請(qǐng)求出該定值;若不為定值請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某人工景觀湖外圍有兩條相互垂直的直線型公路ll,l2,且ll和l2交于點(diǎn)O.為了方便游客游覽,計(jì)劃修建一條連接公路與景觀湖的直線型公路AB.景觀湖的輪廓可以近似看成一個(gè)圓心為O,半徑為2百米的圓,且公路AB與圓O相切,圓心O到ll,l2的距離均為5百米,設(shè)OAB=,AB長(zhǎng)為L百米.
(1)求L關(guān)于的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)為何值時(shí),公路AB的長(zhǎng)度最短?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)分別在、處取得極小值、極大值.平面上點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、,該平面上動(dòng)點(diǎn)滿足,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)、的坐標(biāo);
(Ⅱ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求證:;
(2)討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,過點(diǎn),斜率為1的直線與拋物線交于點(diǎn),,且.
(1)求拋物線的方程;
(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于不同于的兩點(diǎn)、,若直線,分別交直線于兩點(diǎn),求取最小值時(shí)直線的方程.
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