Question

定義域為R的偶函數(shù)f（x）滿足對任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，若函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個零點，則a的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  3

  3

  ）
• B、（

  3

  3

  ，1）
• C、（0，

  5

  5

  ）
• D、（

  5

  5

  ，1）

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=-1得，f（1）=f（-1）-f（1）可得f（x+2）=f（x）；而函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）的零點的個數(shù)即y=f（x）與y=log_a（|x|+1）的交點的個數(shù)；作兩個函數(shù)的圖象求解．

解答： 解：令x=-1得，f（1）=f（-1）-f（1）；
又∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（1）=0，
故f（x+2）=f（x）；
又∵當x∈[2，3]時，f（x）=-2x²+12x-18，
函數(shù)y=f（x）-log_a（|x|+1）的零點的個數(shù)即
y=f（x）與y=log_a（|x|+1）的交點的個數(shù)；
作函數(shù)y=f（x）與y=log_a（|x|+1）的圖象如下，

易知0＜a＜1，
故log_a3＞-2，解得0＜a＜

3

3

；
故選A．

點評：本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的交點的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．