Question

（2012•沈陽二模）設f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且當x∈[-2，0]時，f（x）=(

1

2

)x-1．若函數g（x）=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）在區(qū)間（-2，6]恰有3個不同的零點，則a的取值范圍是

（

3	4

，2）

．

Answer 1

分析：由題意中f（x-2）=f（2+x），可得函數f（x）是一個周期函數，且周期為4，又由函數為偶函數，則可得f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象，結合方程的解與函數的零點之間的關系，可將方程f（x）-log_ax+2=0恰有3個不同的實數解，轉化為兩個函數圖象恰有3個不同的交點，數形結合即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：∵對于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴函數f（x）是一個周期函數，且T=4
又∵當x∈[-2，0]時，f（x）=(

1

2

)x-1，且函數f（x）是定義在R上的偶函數，
故函數f（x）在區(qū)間（-2，6]上的圖象如下圖所示：
若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_ax+2=0恰有3個不同的實數解
則log_a4＜3，log_a8＞3，
解得：

3	4

＜a＜2，
即a的取值范圍是（

3	4

，2）；
故答案為（

3	4

，2）．

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，關鍵是根據方程的解與函數的零點之間的關系，將方程根的問題轉化為函數零點問題．