給定橢圓,稱(chēng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)
,半徑為
的圓是橢圓
的“伴隨圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為
,其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到
距離為
.
(Ⅰ)求橢圓及其“伴隨圓”的方程;
(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn),且截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為
,求
的值;
(Ⅲ)過(guò)橢圓C“伴隨圓”上一動(dòng)點(diǎn)Q作直線,使得
與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn),試判斷直線
的斜率之積是否為定值,并說(shuō)明理由.
【解析】
試題分析:(1)利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其a,b,c的關(guān)系即可得出橢圓方程,進(jìn)而得到“伴隨圓”的方程;
(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式、、及直線與橢圓相切的性質(zhì)即可得出;
(3)利用(2)的結(jié)論及點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足“伴隨圓”的方程即可證明.
試題解析:(1)由題意得:,半焦距
,則
,所以橢圓C的方程為:
,
“伴隨圓”方程為.
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與橢圓有一個(gè)交點(diǎn)的直線為:,則
,整理得
,所以
,化簡(jiǎn)整理得
①
又因?yàn)橹本€截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長(zhǎng)為,則有
化簡(jiǎn)得
②
聯(lián)立①②解得,
,
,所以
.
(3)當(dāng)直線都有斜率時(shí)
,其中
,設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)
且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為
,由
,消去y得到
,即
,所以
,化簡(jiǎn)整理得
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720363023857524/SYS201411172036356606221499_DA/SYS201411172036356606221499_DA.021.png">,所以有
,設(shè)當(dāng)直線
的斜率分別為
,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720363023857524/SYS201411172036356606221499_DA/SYS201411172036356606221499_DA.019.png">與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn),所以
滿足方程
,因而
,即直線
的斜率之積為定值-1.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),在上導(dǎo)數(shù)
>0恒成立,則下列不等式成立的是( ).
A.f(-3)<f(-1)<f(2) B.f(-1)<f(2)<f(-3)
C.f(2)<f(-3)<f(-1) D.f(2)<f(-1)<f(-3)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720364112969917/SYS201411172036428952919248_ST/SYS201411172036428952919248_ST.002.png">,
對(duì)任意
則
的解集為
A. B.(
,+
)
C.(,
) D.(
,+
)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知正三角形內(nèi)切圓的半徑與它的高
的關(guān)系是:
,把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體,則正四面體內(nèi)切球的半徑
與正四面體高
的關(guān)系是 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆甘肅省高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是
A.1 B.2 C.3 D.4
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆湖南省衡陽(yáng)市上學(xué)期高二期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
若不等式對(duì)任意
都成立,則實(shí)數(shù)
取值范圍是 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆湖南省衡陽(yáng)市上學(xué)期高二期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù).若
,使
成立,則稱(chēng)為函數(shù)
的一個(gè)“生成點(diǎn)”.函數(shù)
的“生成點(diǎn)”共有( )
A.1個(gè) B .2個(gè) C .3個(gè) D .4個(gè)
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆湖南省衡陽(yáng)市上學(xué)期高二期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個(gè)年級(jí)的
學(xué)生中抽取容量為50的樣本,則應(yīng)從高二年級(jí)抽取 名學(xué)生.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2015屆湖南省益陽(yáng)市高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
下列結(jié)論:
①若命題命題
則命題
是假命題;
②已知直線則
的充要條件是
;
③命題“若則
”的逆否命題為:“若
則
”
其中正確結(jié)論的序號(hào)是(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com