Question

已知長方體AC₁中，棱AB=BC=3，棱BB₁=4，連接B₁C，過B點作B₁C的垂線交CC₁于E，交B₁C于F．
（1）求證A₁C⊥平面EBD；
（2）求二面角B₁-BE-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）連接AC，只要證A₁C⊥BD，A₁C⊥BE，又BD∩BE=B滿足線面垂直的判定定理所需條件；
（2）連接A₁F，可證BE⊥平面A₁B₁C，找出∠B₁FA₁就是二面角B₁-BE-A₁的平面角．最后在Rt△B₁FA₁中，求出此角的正弦值即可．

解答：解：（1）連接AC，則AC⊥BD，又AC是A₁C在平面ABCD內(nèi)的射影
∴A₁C⊥BD；又∵A₁B₁⊥面B₁C₁CB，且A₁C在平面B₁C₁CB內(nèi)的射影B₁C⊥BE，
∴A₁C⊥BE，
∵BD∩BE=B，∴A₁C⊥面EBD．
（2）連接A₁F，∵BE⊥B₁C，BE⊥A₁B₁，∴BE⊥平面A₁B₁C，
∴∠B₁FA₁就是二面角B₁-BE-A₁的平面角．
∵B1F=

B B 2 1

B1C

=

16

5

，A1B1=3，
∴tan∠A1FB1=

A1B1

B1F

=

15

16

，
所以二面角B₁-BE-A₁的大小 等于arctan

15

16

．

點評：本題考查直線與平面平行的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．