Question

f（x）=x²-4ax，當(dāng)a＜

1

2

時(shí)，對(duì)1＜x₁＜x₂，恒有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍使

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題可以利用二次函數(shù)的解析式，將|f（x₁）-f（x₂）|化成關(guān)于x₁，x₂的關(guān)系式，從而將|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，化簡(jiǎn)成a＜

1

4

(x1+x2-2)或a＞

1

4

(x1+x2+2)，再通1＜x₁＜x₂，求出相應(yīng)式子的最值，結(jié)合條件a＜

1

2

，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=x²-4ax，
∴|f（x₁）-f（x₂）|=|x 12-4ax₁-x 22+4ax₂|=|（x₁-x₂）（x₁+x₂-4a）|，
∵1＜x₁＜x₂，|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，
∴|x₁+x₂-4a|＞2，
∴a＜

1

4

(x1+x2-2)或a＞

1

4

(x1+x2+2)，
∵1＜x₁＜x₂，
∴

1

4

(x1+x2-2)＞0，

1

4

(x1+x2+2)≥1
∵a＜

1

2

，
∴a≤0．
故答案為：a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)與基本不等式關(guān)系，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．