Question

【題目】已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，DD1⊥平面ABCD，AB=4，AA1=2，點E1在棱C1D1上，且D1E1=3．

（Ⅰ）在棱CD上確定一點E，使得直線EE1∥平面D1DB，并寫出證明過程；
（Ⅱ）若動點F在正方形ABCD內(nèi)，且AF=2，請說明點F的軌跡，探求E1F長度的最小值并求此時直線E1F與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）連接D1B，DB，當(dāng)DE=3時，直線EE1∥平面D1DB，

證明：∵DE∥D1E1，DE=D1E1，∴四邊形DEE1D1為平行四邊形，

∵EE1∥DD1，DD1平面D1DB，EE1平面D1DB，

∴直線EE1∥平面D1DB；

（Ⅱ）∵動點F在正方形ABCD內(nèi)，且AF=2，∴點F的軌跡為以A為圓心，以2為半徑的 圓周．

連接AE，則AE= =5，∴EF的最短距離為AE﹣AF=3，

∵E1F= ，∴E1F的長度最小值為 = ．

∵EE1⊥平面ABCD，∴∠E1FE為線E1F與平面ABCD所成的角

∴sin∠E1FE= = = ，即直線E1F與平面ABCD所成的角的正弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）由題意可知連接D1B，DB，當(dāng)DE=3時，根據(jù)線面平行的判定定理可證直線EE1∥平面D1DB。
（Ⅱ）由題意可得動點F在正方形ABCD內(nèi)，且AF=2，∴點F的軌跡為以A為圓心，以2為半徑的 圓，連接AE，EF的最短距離為AE﹣AF=3，根據(jù)勾股定理可得E1F的長度最小值為.再由線面角的定義找出∠E1FE為線E1F與平面ABCD所成的角，由可求得正弦值.
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解棱柱的結(jié)構(gòu)特征(兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形)．