定義平面向量之間的一種運算“*”如下：對任意的
a
=(m，n)，
b
=(p，q)，令
a
?
b
=mq-np．給出以下四個命題：（1）若
a
與
b
共線，則
a
?
b
=0；（2）
a
?
b
=
b
?
a
；（3）對任意的λ∈R，有(λ
a
)?
b
=λ(
a
?
b
)；（4）(
a
*
b
) 2+(
a
•
b
) 2=|
a
|2?|
b
|2．（注：這里
a
?
b
指
a
與
b
的數(shù)量積）其中所有真命題的序號是
 
．
分析：依據(jù)題中的定義運算“*”，逐一檢驗各個選項中的等式兩邊是否相等，從而得出結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)
a
=（x，y），∵若
a
與
b
共線，則
b
=（λx，λy ），
a
*
b
=x•λy-y•λx=0，故（1）正確；
（2）
a
?
b
=mq-np，而
b
*
a
=np-mq，故（2）不正確；
（3）對任意的λ∈R，有 λ
a
*
b
=（λm，λn ）*（p，q）=λmq-λnp，
λ（ 
a
*
b
）=λ （mq-np）=λmq-λnp，∴λ
a
*
b
=λ（ 
a
*
b
） 成立，故（3）正確；
（4） (
a
*
b
)2+(
a
•
b
)2=（mq-np）2+（mp+nq）2=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2，
|
a
|2|
b
|2=（m2+n2）（p2+q2）=m2q2+n2p2+m2p2+n2q2，故（4）正確．
綜上，（1），（3），（4）正確，
故答案為：（1），（3），（4）．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的運算，共線向量的性質(zhì)，屬于創(chuàng)新題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的
a
=(m，n)，
b
=(p，q)，令
a
⊙
b
=mq-np，下面說法錯誤的是（　　）
A、若
a
與
b
共線，則
a
⊙
b
=0
B、
a
⊙
b
=
b
⊙
a
C、對任意的λ∈R，有(λ
a
)⊙
b
=λ(
a
⊙
b
）
D、（
a
⊙
b
）2+（
a
•
b
）2=|
a
|2|
b
|2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義平面向量之間的一種運算“*”如下：對任意的
a
=(m，n)，
b
=(p，q)，令
a
*
b
=mq-np．給出以下四個命題：（1）若
a
與
b
共線，則
a
*
b
=0；（2）
a
*
b
=
b
*
a
；（3）對任意的λ∈R，有(λ
a
)*
b
=λ(
a
*
b
)（4）(
a
*
b
)2+(
a
•
b
)2=|
a
|2•|
b
|2．（注：這里
a
•
b
指
a
與
b
的數(shù)量積）則其中所有真命題的序號是（　�。�
A、（1）（2）（3）
B、（2）（3）（4）
C、（1）（3）（4）
D、（1）（2）（4）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的向量a=（m，n），b=（p，q），令a⊙b=（m+p，n-q），已知a=（cosθ，3），b=(sinθ，3+
2
sinθ)（θ∈R），點N（x，y）滿足
ON
=a⊙b（其中O為坐標原點），則|
ON
|2的最大值為（　�。�
A、
2
B、2+
2
C、2-
2
D、2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的
a
=(m，n)，
b
=(p，q)，令
a
⊙
b
=mq-np，則下列說法錯誤的是（　�。�

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