【題目】已知圓C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）．

（1）求證：無論m取什么實數(shù)，直線l恒過第一象限；
（2）求直線l被圓C截得的弦長最短時m的值以及最短長度；
（3）設(shè)直線l與圓C相交于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程．

【答案】
（1）證明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，

∵m∈R，

∴ ，得x=3，y=1，

故l恒過定點D（3，1）

∵D（3，1）在第一象限，

∴直線l恒過第一象限；


（2）解：因為（3﹣1）2+（1﹣2）2=5＜25，

則點D在圓C的內(nèi)部，直線l與圓C相交．

圓心C（1，2），半徑為5，|CD|= ，

當(dāng)截得的弦長最小時，l⊥CD，由于kCD= =﹣ ，

則l的斜率為2，即有﹣ =2，解得m=﹣ ．

此時最短弦長為2 =4 ，

故當(dāng)m=﹣ 時，直線被圓截得的弦最短，最短的弦長是4


（3）解：設(shè)M（x，y），則由CM⊥DM得 =﹣1，∴x2+y2﹣4x﹣3y+5=0．
【解析】（1）通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點；（2）說明直線l被圓C截得的弦長最小時，圓心與定點連線與直線l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦長；（3）由CM⊥DM得AB中點M的軌跡方程．

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【題目】在正四棱錐中，已知異面直線與所成的角為，給出下面三個命題:

:若，則此四棱錐的側(cè)面積為；

：若分別為的中點，則平面；

:若都在球的表面上，則球的表面積是四邊形面積的倍.

在下列命題中，為真命題的是（ ）

A. B. C. D.

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（1）求圓C的方程．
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B.1
C.﹣1
D.﹣2

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【題目】已知函數(shù) .

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時，，求的取值范圍.

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣ax﹣2．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=1，k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

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【題目】在長方形中，設(shè)一條對角線與其一頂點出發(fā)的兩條邊所成的角分別是α，β，則有cos2α+cos2β=1類比到空間，在長方體中，一條對角線與從其一頂點出發(fā)的三個面所成的角分別為α，β，γ，則有cos2α+cos2β+cos2γ= ．

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【題目】設(shè)函數(shù) .若曲線在點處的切線方程為（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在（0，+）上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知關(guān)于的不等式.

（1）當(dāng)時，解不等式；

（2）如果不等式的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍.

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