Question

【題目】已知橢圓的長軸長為，離心率為.

(1)求橢圓的方程；

(2)過動點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，(在第一象限)，且是線段的中點(diǎn).過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，延長交橢圓于點(diǎn).

①設(shè)直線、的斜率分別為，證明為定值;

②求直線斜率取最小值時(shí)，直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）①詳見解析②

【解析】

(1) 利用長軸長為，離心率為分別求出的值，再求出的值，即可求出橢圓方程；(2) ① 設(shè)出的坐標(biāo)，表示出直線的斜率，作比即可；②設(shè)出的坐標(biāo)，分別求出的方程，聯(lián)立方程組，求出直線的斜率的解析式，根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算出的最小值，再求出的值即可.

（1）由題意得：，

所以，，

故橢圓方程為.

（2）①設(shè)，（，），由，可得，

所以直線的斜率，直線的斜率

此時(shí)，所以為定值.

②設(shè)，，直線的方程為，直線的方程為.

聯(lián)立，整理得，

由，可得，

同理，.

所以，，

，

所以，

由，，可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號.

由，，在橢圓：上得，

此時(shí)，即，

由得，，所以時(shí)，符合題意.

所以直線的斜率最小時(shí)，直線的方程為.