Question

設(shè)雙曲線C：

x2

a2-4

+

y2

a2

=1 (a＞0)．
（1）確定實數(shù)a的取值范圍；
（2）若點P在雙曲線C上，F(xiàn)₁、F₂是兩個焦點，PF₂與雙曲線實軸所在直線垂直，且△F₁PF₂的面積為6，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，建立關(guān)于a的不等式：（a²-4）a²＜0，解之即可得到實數(shù)a的取值范圍；
（2）由（1）將雙曲線方程化成標準形式，即可算出雙曲線的焦點坐標．從而可設(shè)點P（x₁，2），結(jié)合雙曲線方程算出橫坐標x₁關(guān)于a的表達式，最后根據(jù)△F₁PF₂的面積為6建立關(guān)于a的方程，解之即可得到實數(shù)a的值．

解答：解：（1）由題意，可得
∵方程

x2

a2-4

+

y2

a2

=1 (a＞0)表示雙曲線，
∴（a²-4）a²＜0，解之得0＜a＜2，
因此，實數(shù)a的取值范圍是（0，2）．
（2）由（1），可知雙曲線的標準方程為

y2

a2

-

x2

4-a2

=1 (0＜a＜2)，
∴c=

a2+(4-a2)

=2，
可得雙曲線的兩個焦點分別為F₁（0，-2）、F₂（0，2），
因為PF₂與雙曲線實軸所在直線垂直，設(shè)點P（x₁，2），
可得

4

a2

-

x 2 1

4-a2

=1，即x1=±(

4

a

-a)，
∴S△F1PF2=

1

2

•|F1F2|•|x1|=6，
∵|F₁F₂|=4，|x1|=(

4

a

-a)
∴代入上式，可得2(

4

a

-a)=6，解之得a=1．

點評：本題給出雙曲線

y2

a2

-

x2

4-a2

=1，在已知△F₁PF₂的面積為6的情況下求實數(shù)a的值．著重考查了雙曲線的標準方程、基本概念與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．