Question

已知數(shù)列{a_n}，定義其平均數(shù)是V_n=

a1+a2+…+an

n

，n∈N^*．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n}的平均數(shù)V_n=2n+1，求a_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其平均數(shù)為V_n，求證：

1

V1

+

1

V2

+…+

1

Vn

＜4．（提示

n

2n-1

＜

n

2n-1

）

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：新定義,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由V_n=

a1+a2+…+an

n

，得

a1+a2+…+an

n

=2n+1，變形得a₁+a₂+…+a_n=2n²+n，據(jù)此可求a_n；
（Ⅱ）由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及平均數(shù)的定義可得V_n=

2n-1

n

，從而得

1

Vn

=

n

2n-1

＜

n

2n-1

，于是

1

V1

+

1

V2

+…+

1

Vn

＜1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，令S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，利用錯(cuò)位相減法可求得S_n，進(jìn)而可得結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閂_n=

a1+a2+…+an

n

，
所以

a1+a2+…+an

n

=2n+1．
變形得 a1+a2+…+an=2n2+n，①
當(dāng)n≥2時(shí)有  a1+a2+…+an-1=2（n-1）2+（n-1）②，
①-②得a_n=4n-1（n≥2）．
又當(dāng)n=1時(shí)，V₁=a₁=2×1+1=3，
適合a_n=4n-1．
故a_n=4n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和：a₁+a₂+…+a_n=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1，
∴V_n=

2n-1

n

，

1

Vn

=

n

2n-1

＜

n

2n-1

，
∴

1

V1

+

1

V2

+…+

1

Vn

＜1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
令S_n=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

①，則

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

②，
①-②，得

1

2

Sn=1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-

n

2n

=2[1-(

1

2

)n]-

n

2n

，
∴S_n=4-

2+n

2n-1

，
∴

1

V1

+

1

V2

+…+

1

Vn

＜4-

2+n

2n-1

＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．