7.等腰直角三角形ABC的斜邊為$\sqrt{2}$,且AB⊥AC,E,F(xiàn)分別是AB,AC上的動點,AE=mAB(0≤m<1),AF=nAC(0<n<1),m+n=1,設(shè)BF與CE交點為P,且記d為AP取到最值時的EF的長度,則AP•d的取值范圍是( 。
A.$[\frac{1}{3},\frac{{\sqrt{2}}}{2})$B.$[\frac{{\sqrt{2}}}{3},\frac{{\sqrt{2}}}{2})$C.$[\frac{{\sqrt{5}}}{6},\frac{{\sqrt{2}}}{2})$D.$[\frac{{\sqrt{6}}}{7},\frac{{\sqrt{2}}}{2})$

分析 由題意AE=mAC(0≤m<1),AF=nAC(0<n<1),m+n=1,利用極值法討論,當m=1,n=0以及n=1,m=0時,交點為B或C,此時AP<$\frac{\sqrt{2}}{2}$最大,求解EF=1,當m=n=$\frac{1}{2}$時,AP取得最小值,交點P為三角形的重心,求出即可得.

解答 解:由題意:等腰直角三角形ABC的斜邊為$\sqrt{2}$,且AB⊥AC,
∴AB=AC=1,
∵E,F(xiàn)分別是AB,AC上的動點,AE=mAB(0≤m<1),AF=nAC(0<n<1),m+n=1,根據(jù)題意,當m=n=$\frac{1}{2}$時,AP取得最小值,此時E,F(xiàn)是各邊的中點,故得交點P為三角形的重心.
由重心公式可得AP=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$,此時d=EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴AP•d的最小值為$\frac{1}{3}$.
當m=1,n=0以及n=1,m=0時,交點為B或C,此時AP<$\frac{\sqrt{2}}{2}$最大,此時d=EF=1,
∴AP•d的最大值小于$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
故得AP•d的取值范圍是[$\frac{1}{3}$,$\frac{\sqrt{2}}{2}$).
故選A.

點評 本題考查了等腰直角三角形的邊角關(guān)系的應用問題,也考查了特殊值應用,極值法的運用.屬于中檔題.

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