Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明；
（2）解不等式f(x+

1

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)＜f(1-2x)；
（3）若f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立．求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：計算題,綜合題

分析：（1）設x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，利用x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0，可得f（x₁）+f（-x₂）＜0，根據(jù)函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，即可得函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)增；
（2）由（1）知，-1≤x+

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2

＜1-2x≤1，解之即可；
（3）先確定函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=1，將f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立轉(zhuǎn)化為：0≤m²-2am對所有a∈[-1，1]恒成立，從而可求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)增，證明如下
由題意，設x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂
則x₁-x₂＜0
∵x，y∈[-1，1]，x+y≠0有（x+y）•[f（x）+f（y）]＞0．
令x=x₁，y=-x₂，
∴f（x₁）+f（-x₂）＜0
∵函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)增；
（2）由（1）知，-1≤x+

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2

＜1-2x≤1，解得：0≤x＜

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（3）由于函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)增，
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為f（1）=1
∴f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立可轉(zhuǎn)化為：0≤m²-2am對所有a∈[-1，1]恒成立
∴

m2-2m≥0 m2+2m≥0

，
解得m≥2或m≤-2或m=0

點評：本題以抽象函數(shù)的性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，同時考查了恒成立問題，解題的關鍵是：f（x）≤m²-2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立轉(zhuǎn)化為：0≤m²-2am對所有a∈[-1，1]恒成立