18.已知函數(shù)f(x)=$\frac{x}{x+4}{e^{x+2}}$.
(I)討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當(dāng)x>-2時(shí),xex+2+x+4>0;
(Ⅱ)證明:當(dāng)a∈[0,1)時(shí),函數(shù)g(x)=$\frac{{{e^{x+2}}-ax-3a}}{{{{(x+2)}^2}}}$(x>-2)有最小值,設(shè)g(x)最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.

分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,得到f(x)>f(-2),證明結(jié)論即可;
(Ⅱ)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),得到g(x)的最小值,分離a,得到$\frac{x_0}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}=-a∈(-1,0]$,所以-2<x0≤0.令$u(x)=\frac{1}{x+4}{{e}^{x+2}}(-2<x≤0)$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

解答 解:(Ⅰ)證明:由$f(x)=\frac{x}{x+4}{e^{x+2}}$,
得$f'(x)=({\frac{4}{{{{(x+4)}^2}}}+\frac{x}{x+4}}){e^{x+2}}=\frac{{{{(x+2)}^2}}}{{{{(x+4)}^2}}}{e^{x+2}}≥0,(x≠-4)$,
故f(x)在(-∞,-4)和(-4,+∞)上單調(diào)遞增,…(3分)
當(dāng)x>-2時(shí),由上知f(x)>f(-2)=-1,
即$\frac{x}{x+4}{e^{x+2}}>-1$,即xex+2+x+4>0,得證.…(5分)
(Ⅱ)對$g(x)=\frac{{{{e}^x}-ax-3a}}{{{{(x+2)}^2}}}$求導(dǎo),
得$g'(x)=\frac{{x{{e}^{x+2}}+a(x+4)}}{{{{(x+2)}^3}}}=\frac{{(x+4)[\frac{x}{x+4}{{e}^{x+2}}+a]}}{{{{(x+2)}^3}}}$,x>-2.  …(6分)
記$φ(x)=\frac{x}{x+4}{{e}^{x+2}}+a$,x>-2.
由(Ⅰ)知,函數(shù)φ(x)區(qū)間(-2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
又φ(-2)=-1+a<0,φ(0)=a>0,所以存在唯一正實(shí)數(shù)x0,使得$φ({x_0})=\frac{{{x_0}-2}}{{{x_0}+2}}{{e}^{x_0}}+a=0$.
于是,當(dāng)x∈(-2,x0)時(shí),φ(x)<0,g'(x)<0,
函數(shù)g(x)在區(qū)間(-2,x0)內(nèi)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),φ(x)>0,g'(x)>0,
函數(shù)g(x)在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
所以g(x)在(-2,+∞)內(nèi)有最小值$g({x_0})=\frac{{{{e}^{{x_0}+2}}-a{x_0}-3a}}{{{{({x_0}+2)}^2}}}$,
由題設(shè)即$h(a)=\frac{{{{e}^{{x_0}+2}}-a{x_0}-3a}}{{{{({x_0}+2)}^2}}}$.                                       …(9分)
又因?yàn)?-a=\frac{x_0}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}$.所以$h(a)=g({x_0})=\frac{1}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}$.
根據(jù)(Ⅰ)知,f(x)在(-2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,
$\frac{x_0}{{{x_0}+4}}{{e}^{{x_0}+2}}=-a∈(-1,0]$,所以-2<x0≤0.
令$u(x)=\frac{1}{x+4}{{e}^{x+2}}(-2<x≤0)$,
則$u'(x)=\frac{x+3}{x+4}{{e}^{x+2}}>0$,函數(shù)u(x)在區(qū)間(-2,0]內(nèi)單調(diào)遞增,
所以u(píng)(-2)<u(x)≤u(0),
即函數(shù)h(a)的值域?yàn)?(\frac{1}{2},\frac{{{{e}^2}}}{4}]$.                                         …(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想,考查函數(shù)恒成立問題,是一道綜合題.

練習(xí)冊系列答案
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8.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某空間幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為( 。
A.$\frac{16}{3}(π+1)$B.$\frac{8}{3}(2π+1)$C.8(2π+1)D.16(π+1)

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9.歷史上有人用向畫有內(nèi)切圓的正方形紙片上隨機(jī)撒芝麻,用隨機(jī)模擬方法來估計(jì)圓周率的值.如果隨機(jī)向紙片撒一把芝麻,1000粒落在正方形紙片上的芝麻中有778粒落在正方形內(nèi)切圓內(nèi),那么通過此模擬實(shí)驗(yàn)可得π的估計(jì)值為3.112.

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6.以下四個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)A,B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),$|\overrightarrow{PA}|+|\overrightarrow{PB}|=k$,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓;
②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓;
③方程ln2x-lnx-2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④雙曲線$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{25}=1$與橢圓$\frac{x^2}{35}+{y^2}=1$有相同的焦點(diǎn).
其中真命題的序號(hào)為②③(寫出所有真命題的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.已知$D=\left\{{\left.{({x,y})}\right|\left\{\begin{array}{l}x+y-2≤0\\ x-y+2≤0\\ 3x-y+6≥0\end{array}\right.}\right\}$,給出下列四個(gè)命題:
P1:?(x,y)∈D,x+y≥0;
P2:?(x,y)∈D,2x-y+1≤0;
${P_3}:?({x,y})∈D,\frac{y+1}{x-1}≤-4$;
 ${P_4}:?({x,y})∈D,{x^2}+{y^2}≤2$;
其中真命題的是(  )
A.P1,P2B.P2,P3C.P3,P4D.P2,P4

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3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}y-x≤2\\ x+y≥4\\ 3x-y≤5\end{array}\right.$,若目標(biāo)函數(shù)z=y-mx取得最大值時(shí)有唯一的最優(yōu)解(1,3),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m>1.

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10.我市兩所高中分別組織部分學(xué)生參加了“七五普法網(wǎng)絡(luò)知識(shí)大賽”,現(xiàn)從這兩所學(xué)校的參賽學(xué)生中分別隨機(jī)抽取30名學(xué)生的成績(百分制)作為樣本,得到樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.

(Ⅰ)若乙校每位學(xué)生被抽取的概率為0.15,求乙校參賽學(xué)生總?cè)藬?shù);
(Ⅱ)根據(jù)莖葉圖,從平均水平與波動(dòng)情況兩個(gè)方面分析甲、乙兩校參賽學(xué)生成績(不要求計(jì)算);
(Ⅲ)從樣本成績低于60分的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求3人不在同一學(xué)校的概率.

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8.如圖,在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且3bsinA=c,D為AC邊上一點(diǎn).
(1)若c=2b=4,S△ABC=$\frac{5}{3}$,求DC的長;
(2)若D是AC的中點(diǎn),且A=$\frac{π}{4}$,BD=$\sqrt{26}$,求△ABC的最短邊的邊長.

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