Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[2，4]時，求f（x）的解析式；
（3）計算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，可得f（2-x）=f（x）；由于f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得f（x）=-f（-x），即可證明．
（2）根據(jù)奇函數(shù)f（x）滿足當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．可得當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=-f（-x）=2x+x²．設(shè)x∈[2，4]，則（x-4）∈[-2，0]，再利用周期性可得f（x）=f（x-4）．
（3）利用函數(shù)的周期性及奇偶性即可得出．

解答： （1）證明：∵函數(shù)f（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱，
∴f（2-x）=f（x），
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-f（2+x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期T=4的周期函數(shù)．
（2）∵奇函數(shù)f（x）滿足當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
∴當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=-f（-x）=-（-2x-x²）=2x+x²．
設(shè)x∈[2，4]，則（x-4）∈[-2，0]，
∴f（x）=f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=x²-6x+8．
（3）∵當(dāng)x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．
∴f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0．
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（3）=f（-1）=-f（1）=-1．
f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）
=503[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）f（0）+f（1）
=503×（0+1+0-1）+0+1
=1．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．