Question

19．已知A（2，0），M是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（其中a＞1）的右焦點，P是橢圓C上的動點．
（Ⅰ）若M與A重合，求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若a=3，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：c=2，又b=1，則a²=b²+c²=5，求得a，即可橢圓C的離心率；
（Ⅱ）當a=3，求得橢圓方程，丨PA丨²=（x-2）²+y²═$\frac{8}{9}$（x-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{1}{2}$，（-3≤x≤3），根據二次函數圖象及性質，即可求得|PA|的最大值與最小值．

解答 解：（Ⅰ）由條件可知c=2，又b=1，
∴a²=b²+c²=4+1=5，即a=$\sqrt{5}$，
∴離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；…（4分）
（Ⅱ）若a=3，則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$，設P（x，y），
則丨PA丨²=（x-2）²+y²=（x-2）²+1-$\frac{{x}^{2}}{9}$=$\frac{8}{9}$（x-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{1}{2}$，（-3≤x≤3）…（8分）
故當x=$\frac{9}{4}$時，丨PA丨_min=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
當x=-3時，丨PA丨_max=5．…（12分）（若未說明x的取值扣1分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查二次函數性質及最值，考查計算能力，屬于中檔題．