在棱長為1的正方體上,分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體(如圖),則截去8個三棱錐后,求剩下的幾何體的體積與原正方體體積比.
分析:由題意,被截得的三棱錐是三條側(cè)棱都等于
1
2
的正三棱錐,且三條側(cè)棱兩兩垂直.由此可得被截得的三棱錐體積為
1
48
,結(jié)合正方體的體積公式,不難得到剩下的幾何體的體積與原正方體體積比.
解答:解:根據(jù)題意,被截得的三棱錐是三條側(cè)棱都等于
1
2
的正三棱錐
∵正三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且長度都為
1
2

∴以一個側(cè)面為底時,它的高等于
1
2
,此時的底面積S=
1
2
×
1
2
×
1
2
=
1
8
,
∴該三棱錐的體積為V1=
1
3
×
1
8
×
1
2
=
1
48

∵在正方體的8個角都截去一個如圖的三棱錐
∴截去8個三棱錐后,求剩下的幾何體的體積V=V正方體-8V1=1×1×1-
1
48
×8=
5
6

由此可得,剩下的幾何體的體積與原正方體體積比為
5
6
:1=5:6.
點評:本題將正方體沿8個頂點截去8個三棱錐,求剩余幾何體與正方體的體積之比,著重考查了正方體的性質(zhì)和錐體體積求法等知識,屬于基礎(chǔ)題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在棱長為1的正方體上,分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形,則截去8個三棱錐后,剩下的幾何體的體積是( 。
A、
2
3
B、
7
6
C、
4
5
D、
5
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求答下列三小題:
(1)在棱長為1的正方體上,分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形,
則截去8個三棱錐后,剩下的幾何體的體積是多少?
(2)圓錐的軸截面是等腰直角三角形,側(cè)面積是16
2
π
,求圓錐的體積.
(3)一簡單組合體的三視圖及尺寸如圖所示(單位:cm),求該組合體的表面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在棱長為1的正方體上,分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體,則截去8個三棱錐后,剩下的凸多面體的體積是
5
6
5
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆山西省大同市高二第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

在棱長為1的正方體上,分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方體,則截去8個三棱錐后,剩下的凸多面體的體積是(    )

A、           B、              C、                   D、

 

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