以下命題正確的個(gè)數(shù)為( 。
①若a2+b2=8,則ab的最大值為4;
②若a>0,b>0,且a+b=4,則
1
a
+
1
b
的最小值為1;
③若x∈R,則x+
4
x-2
的最小值為6;
④若x>0,y>0,且4x+y=1,則xy的最大值為
1
4
分析:根據(jù)ab≤
a2+b2
2
推斷①正確;
利用
1
a
+
1
b
=(
1
a
+
1
b
)(
a
4
+
b
4
)
展開(kāi)后根據(jù)均值不等式求得
1
a
+
1
b
的最小值判斷出②正確;
根據(jù)x∈R,不能保證x-2為正數(shù),判斷③不正確;
對(duì)于④變形為4x與y的乘積,利用 基本不等式求最大值,推斷④不正確.
解答:解:由①知,a2+b2=8,
∴ab≤
a2+b2
2
=4成立(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2或a=b=-2時(shí),取等號(hào)),故①正確.
由②知,a+b=4,∴
a
4
+
b
4
=1.
1
a
+
1
b
=(
1
a
+
1
b
)(
a
4
+
b
4
)
=
1
4
+
b
4a
+
a
4b
+
1
4

1
2
+2
b
4a
a
4b
=
1
2
+
1
2
=1(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)),故③正確.
由③x∈R,不能保證x-2為正數(shù),此函數(shù)沒(méi)有最小值,判斷③不正確;
④:xy=
1
4
4x•y≤
1
4
(
4x+y
2
)
2
=
1
16
,當(dāng)且僅當(dāng)4x=y=
1
2
時(shí)取等號(hào).
則xy的最大值為:
1
16
.故④不正確.
故正確的有①②.
故選B.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了基本不等式在求最值問(wèn)題的應(yīng)用.要特別留意基本不等式中等號(hào)成立的條件.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

以下四個(gè)命題:其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
①△ABC中,A>B的充分條件是sinA>sinB,
②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,2)上存在零點(diǎn)的充要條件是f(1)f(2)<0;
③等比數(shù)列{an} 中,a1=1,a5=16,則a3=±4;
④把函數(shù)y=sin(2-2x)的圖象向右平移2個(gè)單位后得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=sin(4-2x)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題

以下命題正確的個(gè)數(shù)為
①若a2+b2=8,則ab的最大值為4;
②若a>0,b>0,且a+b=4,則數(shù)學(xué)公式的最小值為1;
③若x∈R,則x+數(shù)學(xué)公式的最小值為6;
④若x>0,y>0,且4x+y=1,則xy的最大值為數(shù)學(xué)公式


  1. A.
    1
  2. B.
    2
  3. C.
    3
  4. D.
    4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

以下命題正確的個(gè)數(shù)為(  )
①若a2+b2=8,則ab的最大值為4;
②若a>0,b>0,且a+b=4,則
1
a
+
1
b
的最小值為1;
③若x∈R,則x+
4
x-2
的最小值為6;
④若x>0,y>0,且4x+y=1,則xy的最大值為
1
4
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2009-2010學(xué)年寧夏銀川一中高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

以下命題正確的個(gè)數(shù)為( )
①若a2+b2=8,則ab的最大值為4;
②若a>0,b>0,且a+b=4,則的最小值為1;
③若x∈R,則x+的最小值為6;
④若x>0,y>0,且4x+y=1,則xy的最大值為
A.1
B.2
C.3
D.4

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案