Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}，x≤-1\\ \frac{x}{e}，x＞-1\end{array}$，關(guān)于x的方程f²（x）+t|f（x）|+1=0（t∈R）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$）
• B． （$\frac{{e}^{2}+1}{e}$，+∞）
• C． $（-\frac{{{e^2}+1}}{e}，-2）$
• D． $（2，\frac{{{e^2}+1}}{e}）$

Answer 1

分析 |f（x）|在（-∞，-1]和[0，+∞）上單調(diào)遞增，則[-1，0]單調(diào)遞減．令|f（x）|=m，由y=|f（x）|的圖象可知：當(dāng)m=0，或m＞$\frac{1}{e}$時(shí)，|f（x）|=m有1解；當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{e}$時(shí)，|f（x）|=m有3解；當(dāng)m=$\frac{1}{e}$時(shí)，|f（x）|=m有兩解．故方程f²（x）+t|f（x）|+1=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則|f（x）|的兩個(gè)值必須一個(gè)在（0，$\frac{1}{e}$）內(nèi)，一個(gè)在（$\frac{1}{e}$，+∞）內(nèi)．然后運(yùn)用二次函數(shù)的圖象及二次方程根的關(guān)系列式求解t的取值范圍．

解答
|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}．x≤-1}\\{\frac{|x|}{e}，x＞-1}\end{array}\right.$在（-∞，-1]和[0，+∞）上單調(diào)遞增，則[-1，0]單調(diào)遞減．
令|f（x）|=m，由y=|f（x）|的圖象可知：
當(dāng)m=0，或m＞$\frac{1}{e}$時(shí)，|f（x）|=m有1解；當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{e}$時(shí)，|f（x）|=m有3解；當(dāng)m=$\frac{1}{e}$時(shí)，|f（x）|=m有兩解．
故方程f²（x）+t|f（x）|+1=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則|f（x）|的兩個(gè)值必須一個(gè)在（0，$\frac{1}{e}$）內(nèi)，一個(gè)在（$\frac{1}{e}$，+∞）內(nèi)．
即方程m²+tm+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)根m₁，m₂，且${m}_{1}∈（0，\frac{1}{e}），{m}_{2}∈（\frac{1}{e}，+∞）$
令g（m）=m²+tm+1
∵g（0）=1＞0
∴只需g（$\frac{1}{e}$）＜0，即$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{t}{e}+1＜0$，得t＜$-\frac{{e}^{2}+1}{e}$
即t的取值范圍為$（-∞，-\frac{{e}^{2}+1}{e}）$，故選A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，分段函數(shù)的圖象及性質(zhì)以及學(xué)生綜合利用函數(shù)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，解答此題的關(guān)鍵是分析出方程f²（x）+t|f（x）|+1=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)|f（x）|的取值情況，此題屬于中高檔題．