【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性;
(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(k-3t2)+f(t2+2t)≤0恒成立,求k的取值范圍.
【答案】(1)f(x)=;(2) f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù); (3)k≤-.
【解析】
(1)當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=-=.即得f(x)的解析式. (2)先分析得到 f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).又f(x)是奇函數(shù),所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).(3)利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到k-3t2≤-t2-2t,即2t2-2t-k≥0,解Δ=4+8k≤0,即得解.
(1)因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí),f(x)=,
所以當(dāng)x<0時(shí),f(x)=-f(-x)=-=.
所以f(x)=
(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)==2-,
所以f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù).
又f(x)是奇函數(shù),所以f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).
(3)由題知不等式f(k-3t2)+f(t2+2t)≤0等價(jià)于
f(k-3t2)≤f(-t2-2t),
又f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),
所以k-3t2≤-t2-2t,即2t2-2t-k≥0,
即對(duì)一切t∈R,恒有2t2-2t-k≥0,
所以Δ=4+8k≤0,解得k≤-.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知所在的平面, 是的直徑, 是上一點(diǎn),且是中點(diǎn), 為中點(diǎn).
(1)求證: 面;
(2)求證: 面;
(3)求三棱錐的體積.
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【題目】用表示不超過的最大整數(shù),如.
下面關(guān)于函數(shù)說法正確的序號(hào)是____________.(寫上序號(hào))
①當(dāng)時(shí),;
②函數(shù)的值域是;
③函數(shù)與函數(shù)的圖像有4個(gè)交點(diǎn);
④方程根的個(gè)數(shù)為7個(gè).
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【題目】已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干,其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè),標(biāo)號(hào)為2的小球個(gè).若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球,取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是.
(1)求的值;
(2)從袋子中有放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球,記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為,第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為.
①記“”為事件,求事件的概率;
②在區(qū)間內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù),求事件“恒成立”的概率.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是a,b,c,已知c=2,C= .
(1)若△ABC的面積等于 ,求a,b;
(2)求 +a的最大值.
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【題目】已知數(shù)集其中,,2,,n,,若對(duì)任意的2,,都存在,,使得下列三組向量中恰有一組共線:
向量與向量;
向量與向量;
向量與向量,則稱X具有性質(zhì)P,例如2,具有性質(zhì)P.
若3,具有性質(zhì)P,則x的取值為______
若數(shù)集3,,具有性質(zhì)P,則的最大值與最小值之積為______.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為:ρsin2θ﹣6cosθ=0,直線l的參數(shù)方程為: (t為參數(shù)),l與C交于P1 , P2兩點(diǎn).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程及l(fā)的普通方程;
(2)已知P0(3,0),求||P0P1|﹣|P0P2||的值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)的圖象在[a,b]上連續(xù)不斷,定義:
f1(x)=min{f(t)| a≤t≤x}(x∈[a,b]),
f2(x)=max{f(t)| a≤t≤x}(x∈[a,b])。
其中,min{f(x)| x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值。若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”。
(1)若f(x)=sinx,x∈[, ],請(qǐng)直接寫出f1(x),f2(x)的表達(dá)式;
(2)已知函數(shù)f(x)=(x-1)2,x∈[-1,4],試判斷f(x)是否為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,如果是,求出對(duì)應(yīng)的k;如果不是,請(qǐng)說明理由。
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn),,圓C的方程為,點(diǎn)P為圓上的動(dòng)點(diǎn).
求過點(diǎn)A的圓C的切線方程.
求的最大值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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