Question

16．已知{a_n}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，．
（1）求a₁的值并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件直接求解a₁的值，然后求解數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）判斷數(shù)列{b_n}的等比數(shù)列，然后求解數(shù)列的和．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，當n=1時，有a₁b₂+b₂=b₁（2分）
因為$\frac{1}{3}$a₁=$\frac{2}{3}$，所以a₁=2（4分）
又∵{a_n}是公差為3的等差數(shù)列，所以a_n=3n-1（6分）
（2）由a_n=3n-1知：（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n，
化簡得3b_n+1=b_n，即$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{3}$（8分）
即數(shù)列{b_n}是以1為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，所以${b_n}={（\frac{1}{3}）^{n-1}}$（10分）
所以等比數(shù)列{b_n}的前n項和${S_n}=\frac{{1×[1-{{（\frac{1}{3}）}^n}]}}{{1-\frac{1}{3}}}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}×{（\frac{1}{3}）^n}$（12分）

點評 本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列求和，考查計算能力．