Question

4．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦點為F（-1，0），O為坐標原點，點$G（{1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$在橢圓上，過點F的直線l交橢圓于不同的兩點 A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求弦AB的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的焦點坐標，橢圓經過的點，列出a，b方程組，求解可得橢圓方程；
（2）設M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用中點坐標公式以及平方差公式，化簡可得M的軌跡方程．

解答 解：（1）由題意有a²-b²=1，且$\frac{1^2}{a^2}+\frac{{{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}}{b^2}=1$，
解得a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）設M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，$y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$
當x₁=x₂時，M點的坐標為（-1，0）．
當x₁≠x₂時，
∵$\frac{{{x_1}^2}}{2}+{y_1}^2=1$，$\frac{{{x_2}^2}}{2}+{y_2}^2=1$，
兩式相減得$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（x{\;}_1-{x_2}）}}{2}=-（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）$，
∴$\frac{2x}{2•2y}=-\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$．
又AB過F點，于是AB的斜率為$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{y-0}{x+1}$，
∴$\frac{x}{2y}$=$-\frac{y}{x+1}$，
整理得x²+2y²+x=0．
∵（-1，0）也滿足上式，
∴M的軌跡方程為x²+2y²+x=0．…（12分）

點評 本題考查橢圓的簡單性質，橢圓方程的求法，軌跡方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．