Question

12．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（4cosα，sinα），$\overrightarrow$=（sinβ，4cosβ），$\overrightarrow{c}$=（cosβ，-4sinβ）
（1）若$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$垂直，求tan（α+β）的值；
（2）若β∈（-$\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}$]，求|$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$垂直，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，結(jié)合三角函數(shù)的兩角和差的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）根據(jù)向量模長(zhǎng)的公式 進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的有界性進(jìn)行求解．

解答 解：（1）$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ） 
∵$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$垂直，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$）=0，
即4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin（α+β）-8cos（α+β），
則sin（α+β）=2cos（α+β），
即tan（α+β）=2，
（2）由$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
則|$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|²=（sinβ+cosβ）²+（4cosβ-4sinβ）²=17-15sin2β，
∵β∈（-$\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}$]，
∴2β∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
則$-\frac{1}{2}$＜sin2β≤1，
則2≤17-15sin2β＜$\frac{49}{2}$，
則2≤|$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|²＜$\frac{49}{2}$，
則$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|＜$\frac{7\sqrt{2}}{2}$
即|$\overrightarrow+\overrightarrow{c}$|的取值范圍是[$\sqrt{2}$，$\frac{7\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)量積的定義以及向量模長(zhǎng)公式，三角函數(shù)的有界性進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．