Question

12．{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，{b_n}是等比數(shù)列，已知$\frac{a_1}{b_1}$=$\frac{a_2}{b_2}$=1，$\frac{a_3}{b_3}$=$\frac{8}{9}$，那么$\frac{a_4}{b_4}$=（　　）

• A． $\frac{20}{27}$
• B． $\frac{16}{27}$
• C． $\frac{4}{9}$
• D． $\frac{20}{27}$或$\frac{16}{27}$

Answer 1

分析 設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，解得q的值，求出b₄，再根據(jù)已知條件求出d，則可得到a₄，則答案可求．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則a₁+d=a₁q，$9（{a}_{1}+2d）=8{a}_{1}{q}^{2}$，聯(lián)立可得8q²-18q+9=0，
解得：q=$\frac{3}{2}$或q=$\frac{3}{4}$．
∵{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)，則d＞0，∴q＞1，
則$q=\frac{3}{2}$，
∴$_{4}={a}_{1}×（\frac{3}{2}）^{3}=\frac{27}{8}{a}_{1}$．
∴$\frac{{a}_{2}}{_{2}}=\frac{3}{2}{a}_{1}$．
則$d=\frac{3}{2}{a}_{1}-{a}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}$．
∴${a}_{4}={a}_{1}+3d=\frac{5}{2}{a}_{1}$．
∴$\frac{a_4}{b_4}$=$\frac{\frac{5}{2}{a}_{1}}{\frac{27}{8}{a}_{1}}=\frac{20}{27}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．