Question

若直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M，N兩點，且M，N關于直線x-y=0對稱，動點P（a，b）在不等式組

kx-y+2≥0 kx-my≤0 y≥0

表示的平面區(qū)域內部及邊界上運動，則w=

b-2

a-1

的取值范圍是（　　）

• A、[2，+∞）
• B、（-∞，-2]
• C、[-2，2]
• D、（-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：先依據已知條件結合圓的特點求出k，m的值，再根據條件畫出可行域，w=

b-2

a-1

，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域內點和點（1，2）連線的斜率的最值，從而得到w的取值范圍即可．

解答：解：∵M，N是圓上兩點，且M，N關于直線x-y=0對稱，
∴直線x-y=0經過圓的圓心（-

k

2

，-

m

2

），且直線x-y=0與直線y=kx+1垂直．
∴k=m=-1．
∴約束條件為：

-x-y+2≥0 -x+y≤0 y≥0

根據約束條件畫出可行域，
w=

b-2

a-1

，表示可行域內點Q和點P（1，2）連線的斜率的最值，
當Q點在原點O時，直線PQ的斜率為2，當Q點在可行域內的點B處時，直線PQ的斜率為-2，
結合直線PQ的位置可得，當點Q在可行域內運動時，其斜率的取值范圍是：
（-∞，-2]∪[2，+∞）
從而得到w的取值范圍（-∞，-2]∪[2，+∞）．
故選D．

點評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．巧妙識別目標函數的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎，縱觀目標函數包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．