Question

【題目】設(shè) 是由組成的行列的數(shù)表（每個(gè)數(shù)恰好出現(xiàn)一次），且．

若存在， ，使得既是第行中的最大值，也是第列中的最小值，則稱數(shù)表為一個(gè)“數(shù)表”為數(shù)表的一個(gè)“值”，

對(duì)任意給定的，所有“數(shù)表”構(gòu)成的集合記作．

判斷下列數(shù)表是否是“數(shù)表”．若是，寫(xiě)出它的一個(gè)“值”；

，

(Ⅱ)求證：若數(shù)表是“數(shù)表”，則的“值”是唯一的；

(Ⅲ)在中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)表，記的“值”為，求的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析;（Ⅱ）見(jiàn)解析;（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

試題解析：（Ⅰ根據(jù)定義可得）是“數(shù)表 ”，其“值”為3， 不是“數(shù)表”.

（Ⅱ）假設(shè)和均是數(shù)表的“值”，則分①若， ②若，③若， ，三種情況討論，得出矛盾. 即若數(shù)表是“數(shù)表”，則其“值”是唯一的.

（Ⅲ）方法1：對(duì)任意的由， ， ，…， 組成的行列的數(shù)表.

定義數(shù)表如下，將數(shù)表的第行，第列的元素寫(xiě)在數(shù)表的第行，第列，即（其中， ），討論其性質(zhì)；定義數(shù)表如下，其與數(shù)表對(duì)應(yīng)位置的元素的和為362，即（其中， ）

討論其性質(zhì)，記，則，即數(shù)表與數(shù)表的“值”之和為，

的數(shù)學(xué)期望.

方法2：

所有可能的取值為.

記中使得的數(shù)表的個(gè)數(shù)記作， ，則

.

則，由此可求出的數(shù)學(xué)期望．

（Ⅰ）是“數(shù)表 ”，其“值”為3， 不是“數(shù)表”.

（Ⅱ）假設(shè)和均是數(shù)表的“值”，

①若，則；

②若，則；

③若， ，則一方面

，

另一方面

；

矛盾. 即若數(shù)表是“數(shù)表”，則其“值”是唯一的.

（Ⅲ）方法1：

對(duì)任意的由， ， ，…， 組成的行列的數(shù)表.

定義數(shù)表如下，將數(shù)表的第行，第列的元素寫(xiě)在數(shù)表的第行，第列，即

（其中， ）

顯然有：

①數(shù)表是由， ， ，…， 組成的行列的數(shù)表

②數(shù)表的第行的元素，即為數(shù)表的第列的元素

③數(shù)表的第列的元素，即為數(shù)表的第行的元素

④若數(shù)表中， 是第行中的最大值，也是第列中的最小值

則數(shù)表中， 是第列中的最大值，也是第行中的最小值.

定義數(shù)表如下，其與數(shù)表對(duì)應(yīng)位置的元素的和為362，即

（其中， ）

顯然有

①數(shù)表是由， ， ，…， 組成的行列的數(shù)表

②若數(shù)表中， 是第列中的最大值，也是第列中的最小值

則數(shù)表中， 是第列中的最小值，也是第列中的最大值

特別地，對(duì)由， ， ，…， 組成的行列的數(shù)表

①數(shù)表是由， ， ，…， 組成的行列的數(shù)表

②若數(shù)表中， 是第行中的最大值，也是第列中的最小值

則數(shù)表中， 是第列中的最小值，也是第列中的最大值

即對(duì)任意的，其“值”為（其中， ），則，且其“值”為.

記，則，即數(shù)表與數(shù)表的“值”之和為，

故可按照上述方式對(duì)中的數(shù)表兩兩配對(duì)，使得每對(duì)數(shù)表的 “值”之和為，

故的數(shù)學(xué)期望.

方法2：

所有可能的取值為.

記中使得的數(shù)表的個(gè)數(shù)記作， ，則

.

則，則

，

故， .