Question

19．某市為了緩解交通壓力，提倡低碳環(huán)保，鼓勵市民乘坐公共交通系統(tǒng)出行．為了更好地保障市民出行，合理安排運力，有效利用公共交通資源合理調度，在某地鐵站點進行試點調研市民對候車時間的等待時間（候車時間不能超過20分鐘），以便合理調度減少候車時間，使市民更喜歡選擇公共交通．為此在該地鐵站的一些乘客中進行調查分析，得到如下統(tǒng)計表和各時間段人數頻率分布直方圖：

分組	等待時間（分鐘）	人數
第一組	[0，5）	10
第二組	[5，10）	a
第三組	[10，15）	30
第四組	[15，20）	10

（Ⅰ）求出a的值；要在這些乘客中用分層抽樣的方法抽取10人，在這10個人中隨機抽取3人至少一人來自第二組的概率；
（Ⅱ）從這10人中隨機抽取3人進行問卷調查，設這3個人共來自X個組，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題先求出a，采取分層抽樣的方法在第一，第二，第三，第四組分別抽取：1，5，3，1人．由此利用對立事件概率計算公式能求出在這10個人中隨機抽取3人至少一人來自第二組的概率．
（Ⅱ）X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列及數學期望．

解答 解：（Ⅰ）由題可知，$a=\frac{10}{0.02×5}×0.1×5=50$．
采取分層抽樣的方法在第一，第二，第三，第四組分別抽取：1，5，3，1人．
“在這10個人中隨機抽取3人至少一人來自第二組”記為事件A，
則$P（A）=1-\frac{C_5^3}{{C_{10}^3}}=\frac{11}{12}$．
（Ⅱ）X的可能取值為1，2，3，
$P（X=1）=\frac{C_5^3+C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{11}{120}$，
$P（X=2）=\frac{（C_5^3+C_3^2）×2+C_5^3C_3^1+C_3^2C_5^2}{{C_{10}^3}}=\frac{71}{120}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^1C_5^1×2+C_5^1+C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{38}{120}$，
所以X的分布列為

X	1	2	3
P	$\frac{11}{120}$	$\frac{71}{120}$	$\frac{38}{120}$

$EX=\frac{11+2×71+3×38}{120}=\frac{267}{120}=\frac{89}{40}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．