Question

設(shè)對于任意的實(shí)數(shù)x，y，函數(shù)，滿足， 且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+
2y，g（5）=13，n∈N*。
（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）設(shè)F（n）=S_n-3n，存在整數(shù)m和M，使得對任意正整數(shù)n不等式m<F（n）<M恒成立，求M-m的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取x=n，得，
取x=0，得，
故數(shù)列是首項(xiàng)是1，公比為的等比數(shù)列，所以f（n）=（） ^n-1。
取x=n，y=1得，即，
故數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，
又，
所以。
（Ⅱ），
∴，
，
兩式相減，得，
∴。
（Ⅲ），
∴，
所以F（n）是增函數(shù)，那么F（n）_min=F（1）=1，  
由于，則，
由于，則，
所以，
因此當(dāng)m<1且時，恒成立，
所以存在正數(shù)m=0，-1，-2，…，M=3，4，5…
使得對任意的正整數(shù)n，不等式恒成立，此時（M-m）_min=3。