已知函數(shù)數(shù)學公式
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上的單調性,并用定義證明之.

解:(1)∵,∴f(x)的定義域是{x|x<-1或x>1}
又f(-x)+f(x)=
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)為奇函數(shù)…(5分)
(2)∵
∴當x>1時,f(x)有意義
∴當a>1時,f(x)在(1,+∞)上單調遞減
當0<a<1時,f(x)在(1,+∞)上單調遞增
證明如下:設任意的x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2

∴x1>x2>1∴x1+1>x2+1>2,x1-1>x2-1>0,x2-x1<0


∴當a>1時,
∴f(x1)<f(x2
當0<a<1時,
∴f(x1)>f(x2
故 當a>1時,f(x)在(1,+∞)上單調遞減;
當0<a<1時,f(x)在(1,+∞)上單調遞增.
分析:(1)先判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱,再利用奇函數(shù)定義,證明f(-x)=-f(x)即可;(2)先將函數(shù)化為復合函數(shù)形式,由于內層函數(shù)為減函數(shù),故函數(shù)的單調性取決于外層函數(shù)的單調性,故需分a>1和0<a<1兩種情況討論函數(shù)的單調性,最后利用函數(shù)單調性的定義證明討論結果即可
點評:本題考查了函數(shù)奇偶性的定義及其判斷方法,復合函數(shù)單調性的判斷方法,利用定義證明函數(shù)單調性的方法和步驟,分類討論的思想方法
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