Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中已知橢圓，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與的離心率相同，且橢圓的外切矩形ABCD（兩組對邊分別平行于x軸、y軸）的頂點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B、C、D重合）.

①若直線：，求證：直線l與橢圓相交；

②記①中的直線l與橢圓C1的交點(diǎn)為S、T，求證的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析

【解析】

（1）由于離心率相同可設(shè)方程為.代入矩形頂點(diǎn)坐標(biāo)可求得，得方程；

（2）①直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后計(jì)算，同時(shí)驗(yàn)證在的直線與橢圓也是相交的，證得結(jié)論；

②設(shè)，由弦長公式得計(jì)算出弦長，再求出到直線的距離，計(jì)算面積即可得．

（1）依題意設(shè)橢圓的方程為.

因?yàn)闄E圓的外切矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)為，

將點(diǎn)代入方程中，得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①聯(lián)立，消去y得

.

因?yàn)?/span>為橢圓上一點(diǎn)，

所以

從而，

則.

特別地，當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)直線與橢圓也相交，

所以直線與橢圓相交.

②設(shè)

由①，

知

，從而

又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離

，

所以，

所以的面積為定值.