Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-1

x

，其定義域為{x|x≠0}，
（1）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)；
（2）利用所得到（1）的結(jié)論，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，步驟是取值，作差，判正負，下結(jié)論；
（2）根據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)f（x）在閉區(qū)間上的最值．

解答：解：（1）證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

x1

-

2x2-1

x2

=

x1-x2

x1x2

；
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0；
又∵x₁＞0，x₂＞0，∴x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f(x)=

2x-1

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）∵f(x)=

2x-1

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在[1，2]上是增函數(shù)；
f（x）在[1，2]上的最大值是f（x）_max=f（2）=

2×2-1

2

=

3

2

，
最小值是f（x）_min=f（1）=

2×1-1

1

=1．

點評：本題考查了用定義判定函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題．