Question

若O（0，0），A（4，-1）兩點(diǎn)到直線(xiàn)ax+a²y+6=0的距離相等，則實(shí)數(shù)a可能取值的個(gè)數(shù)共有（　　）個(gè)．

A．無(wú)數(shù)

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由平面幾何的定理，兩個(gè)點(diǎn)到一條動(dòng)直線(xiàn)的距離相等，說(shuō)明兩點(diǎn)的連線(xiàn)與直線(xiàn)平行，或者直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)所連線(xiàn)段的中點(diǎn)．因此對(duì)本題分兩種情形加以討論，建立相應(yīng)的關(guān)系式，可求得符合題的a值個(gè)數(shù)．

解答：解：由題意，直線(xiàn)ax+a²y+6=0與直線(xiàn)OA平行或過(guò)OA連線(xiàn)的中點(diǎn)，
分兩種情形討論：
（1）當(dāng)直線(xiàn)ax+a²y+6=0與直線(xiàn)OA平行時(shí)，可得
直線(xiàn)OA的斜率為kOA=

-1-0

4-0

=-

1

4

，
∴-

1

a

=

1

-4

⇒a=4
（2）當(dāng)直線(xiàn)ax+a²y+6=0過(guò)OA連線(xiàn)的中點(diǎn)(2，-

1

2

)時(shí)，2a-

1

2

a2+6=0⇒a=6或a=-2
因此有3個(gè)a值符合題意
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等的問(wèn)題，屬于中檔題．熟悉平面幾何的相關(guān)定理，結(jié)合分類(lèi)討論建立相應(yīng)的關(guān)系式解方程，是解決本題的關(guān)鍵．