【題目】已知雙曲線的左右頂點分別為.直線和兩條漸近線交于點,點在第一象限且,是雙曲線上的任意一點.
(1)求雙曲線的標準方程;
(2)是否存在點P使得為直角三角形?若存在,求出點P的個數(shù);
(3)直線與直線分別交于點,證明:以為直徑的圓必過定點.
【答案】(1) ;(2)4個;(3)證明過程見解析.
【解析】
(1)根據(jù),可知,根據(jù)題意求出點的坐標,根據(jù),求出,這樣可求出雙曲線的標準方程;
(2)分類討論以三點為直角頂點時能否構(gòu)成直角三角形,最后確定點P的個數(shù);
(3)設出點P的坐標,根據(jù)三點共線,結(jié)合斜率公式可以求出點的坐標,進而可求出以為直徑的圓,最后根據(jù)圓的標準方程,可以判斷出該圓所過的定點.
(1)因為,所以,雙曲線的漸近線方程為:,由題意可知:
而,所以,因此雙曲線的標準方程為:;
(2)因為直線的斜率為,所以與直線垂直的直線的斜率為,設點的坐標為:,則有.
當時,所以且,解得或此時存在2個點;
當時,所以且,,解得或,此時存在2個點;
當時,此時點是以線段為直徑圓上,圓的方程為:,與雙曲線方程聯(lián)立,無實數(shù)解,
綜上所述:點P的個數(shù)為4個;
(3)設點的坐標為,.
因為三點共線,所以直線的斜率相等,即
因為三點共線,所以直線的斜率相等,即 , 所以的中點坐標為:
,所以以為直徑的圓的方程為:,即
令或,因此該圓恒過兩點.
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【題目】已知平面直角坐標系,以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),點時曲線上兩點,點的極坐標分別為,.
(1)寫出曲線的普通方程和極坐標方程;
(2)求的值.
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【題目】已知數(shù)列的首項,對任意的,都有,數(shù)列是公比不為的等比數(shù)列.
(1)求實數(shù)的值;
(2)設數(shù)列的前項和為,求所有正整數(shù)的值,使得恰好為數(shù)列中的項.
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【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù),且.
(1)若是奇函數(shù),求的取值集合;
(2)當時,設的反函數(shù),且的圖象與的圖象關(guān)于對稱,求的取值集合;
(3)對于問題(1)(2)中的、,當時,不等式恒成立,求的取值范圍.
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【題目】已知有窮數(shù)列共有項,且.
(1)若,,,試寫出一個滿足條件的數(shù)列;
(2)若,,求證:數(shù)列為遞增數(shù)列的充要條件是;
(3)若,則所有可能的取值共有多少個?請說明理由.
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【題目】定義:直線關(guān)于圓的圓心距單位圓心到直線的距離與圓的半徑之比.
(1)設圓,求過點的直線關(guān)于圓的圓心距單位的直線方程.
(2)若圓與軸相切于點,且直線關(guān)于圓的圓心距單位,求此圓的方程.
(3)是否存在點,使過點的任意兩條互相垂直的直線分別關(guān)于相應兩圓與的圓心距單位始終相等?若存在,求出相應的點坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】設集合由滿足下列兩個條件的數(shù)列構(gòu)成:①②存在實數(shù)使對任意正整數(shù)都成立.
(1)現(xiàn)在給出只有5項的有限數(shù)列其中;試判斷數(shù)列是否為集合的元素;
(2)數(shù)列的前項和為且對任意正整數(shù)點在直線上,證明:數(shù)列并寫出實數(shù)的取值范圍;
(3)設數(shù)列且對滿足條件②中的實數(shù)的最小值都有求證:數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列.
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【題目】“劍橋?qū)W派”創(chuàng)始人之一數(shù)學家哈代說過:“數(shù)學家的造型,同畫家和詩人一樣,也應當是美麗的”;古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯創(chuàng)造的“黃金分割”給我們的生活處處帶來美;我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)造了優(yōu)美“弦圖”.“弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形,如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,則等于( )
A.B.C.D.
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